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CONSÉCUTIVES.

$1=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)\left(1+A_{2}x^{2}+A_{4}x^{4}+A_{6}x^{6}+\ldots \right)\,;$

le terme général du produit, égalé à zéro, donnera pour $A_{2n}$ la valeur précédente.

Les coefficiens du développement des ${\frac {1}{\operatorname {Cos} .x}}$ peuvent s’obtenir d’une manière qui en fait connaître la loi ; il suffit de multiplier $\operatorname {Cos} .x$ par le produit indéfini

$\left\{1-\left({\frac {x}{q}}\right)^{2}\right\}\left\{1-\left({\frac {x}{3q}}\right)^{2}\right\}\left\{1-\left({\frac {x}{5q}}\right)^{2}\right\}\ldots$

$q$ désignant le quart du cercle, ou ${\frac {1}{2}}\varpi .$ Ce produit étant convergent pour $x<q,$ on peut poser, dans cette limite de $x,$

${\frac {1}{\left\{1-\left({\frac {x}{q}}\right)^{2}\right\}\left\{1-\left({\frac {x}{3q}}\right)^{2}\right\}\left\{1-\left({\frac {x}{5q}}\right)^{2}\right\}\ldots }}=$

$1+A_{2}x^{2}+A_{4}x^{4}+A_{6}x^{6}+\ldots +A_{2n}x^{2n}+\ldots$

mais, à cause de la convergence du produit qui donne le cosinus, on peut appliquer, à la fraction précédente, la décomposition en fractions simples, et poser, en vertu de ce que $\operatorname {Cos} .x$ est une fonction paire,

${\frac {1}{\operatorname {Cos} .x}}={\frac {B_{1}}{\left\{1-\left({\frac {x}{q}}\right)^{2}\right\}}}+{\frac {B_{3}}{\left\{1-\left({\frac {x}{3q}}\right)^{2}\right\}}}+\ldots {\frac {B_{m}}{\left\{1-\left({\frac {x}{mq}}\right)^{2}\right\}+\ldots }},$

$m$ représentant un nombre impair quelconque. On déterminera $B_{m}$ par la valeur que prendra ${\frac {1-\left({\frac {x}{mq}}\right)^{2}}{\operatorname {Cos} .x}}$ pour $x=mq.$ En différentiant les deux termes on a