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DES DÉVELOPPANTES CONSÉCUTIVES.

$S=\Sigma \operatorname {Sin} .\alpha \,;$

l’angle $\phi ,$ dont la tangente ${\rm {MN}}$ a tourné, est précisément $\alpha +\beta$ ou $\alpha {\frac {R+2r}{R}}\alpha \,;$ on a donc

$\phi =\alpha .{\frac {R+2r}{R}},\quad$d’où$\quad \alpha ={\frac {R}{R+2r}}\phi .$

Si $\alpha$ est l’angle total formé par les tangentes extrêmes ; comme $\alpha$ qui lui correspond $={\frac {\varpi }{2}}=q,$ on aura

$q={\frac {R}{R+2r}}\omega ,\quad$d’où$\quad {\frac {R}{R+2r}}={\frac {q}{\omega }};$

on a donc ; en substituant,

$\alpha ={\frac {q\phi }{\omega }}\,;$

d’où l’on conclut, pour l’équation de l’épicycloïde,

$S=\Sigma \operatorname {Sin} .{\frac {q\phi }{\omega }}\,;$

équation qui est précisément celle de la courbe vers laquelle tendent les développantes successives. Et, comme les considérations précédentes s’appliquent aux épycîcloïdes intérieures, pourvu qu’on prenne $\operatorname {d} \alpha$ et $\operatorname {d} \beta$ de signes contraires, on voit facilement que leurs équations seront de même

$S=\Sigma \operatorname {Sin} .{\frac {q\phi }{\omega }}\,;$

l’angle $\alpha$ étant alors plus petit que $q.$ Le théorème se trouve donc ainsi complètement démontré.

Paris, le 13 de juillet 1818.