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INTÉGRATION

qu’on peut s’en promettre, nous choisirons de préférence des équations qu’on sache intégrer, et dont l’intégrale soit connue. En outre, afin qu’on puisse juger de l’influence du nombre des termes admis dans la valeur hypothétique de $y$ sur l’exactitude de la formule finale, nous ferons croître ce nombre par degré, en le prenant d’abord fort petit, et en l’augmentant ensuite successivement.

PROBLÈME I. Un nombre étant donné, trouver son logarithme naturel ?

Solution. Soient $x$ le nombre dont il s’agit, et $y$ son logarithme cherché ; l’équation du problème sera

$y=\operatorname {Log} (x),$

ou, en différentiant,

$x{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=1\,;\qquad \qquad$(1)

et il s’agira de déterminer, au moyen de cette dernière équation, la valeur de $y$ qui répond à une valeur quelconque $a$ de $x$ en observant d’ailleurs que la constante que comporte son intégrale doit être déterminée par cette considération qu’à la valeur $x=1$ doit répondre la valeur $y=0.$

Changeons d’abord $x$ en $a+zx\,;$ cela changera $\operatorname {d} x$ en $z\operatorname {d} x\,;$ et notre équation deviendra

$(a+zx){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}-z=0.\qquad \qquad$(1)

où la constante devra être déterminée par cette considération qu’à $a+zx=1$ ou $x={\tfrac {1-a}{z}}$ devra répondre $y=0\,;$ et il s’agira simplement de déterminer, au moyen de cette dernière équation, la valeur de $y$ qui répond à $x=0.$

Soit posé d’abord simplement