Solution. En prenant l’un des sommets pour origine des coordonnées rectangulaires, l’axe et la tangente à son extrémité pour axes des et des respectivement ; représentant de plus l’axe par et le paramètre par l’équation commune à l’ellipse et à l’hyperbole sera, comme l’on sait,
le signe supérieur répondant à l’ellipse, et l’inférieur à l’hyperbole.
On trouvera de plus, pour l’équation de la normale à la courbe par le point
en y faisant on trouvera que cette normale rencontre l’axe des en un point pour lequel on a
Cela posé, si l’on mène à la courbe une normale par un point très-voisin du sommet, l’arc de la courbe compris entre ce point et le sommet pourra évidemment être considéré sensiblement comme un arc de cercle ayant son centre à l’intersection de cette normale avec celle du sommet, c’est-à dire, avec l’axe des et cette approximation deviendra un résultat tout-à-fait rigoureux, lorsque les deux normales en viendront enfin à coïncider ; donc, la courbe a, à son sommet, une courbure égale à celle du cercle dont le rayon serait ce que devient la valeur de trouvée en dernier lieu, en y faisant c’est-à-dire,
ainsi, dans les deux courbes, le rayon de courbure au sommet est égal au demi-paramètre.
