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SPHÉRIQUES.

PROBLÈME I. Trouver le foyer d’un miroir sphérique concave, pour une position donnée du point lumineux sur l’axe du miroir ?

Solution. Soit $r$ le rayon du miroir et soit $d$ la distance de sa surface au point lumineux. Considérons ce miroir, que nous supposons une très-petite portion de la sphère dont il fait partie, comme un miroir elliptique ; le paramètre de l’ellipse génératrice sera $2r,$ et la distance de son sommet à l’un de ses foyers que, pour fixer les idées, nous supposons être le plus éloigné, sera $d\,;$ en désignant donc par $x$ la distance du même sommet à l’autre foyer, qui est évidemment le foyer cherché, on aura, par les propriétés connues de la courbe

${\frac {2ax-x^{2}}{a}}={\frac {1}{2}}p=r\,;$

d’où

$2ax-x^{2}=ar\,;$

et ensuite

$d=2a-x\,;$

éliminant donc $a,$ entre ces deux équations, il viendra

$x={\frac {rd}{2d-r}}={\frac {{\frac {1}{2}}rd}{d-{\frac {1}{2}}r}}\,;$

formule qui résout le problème.

PROBLÈME II. Trouver le foyer d’un miroir sphérique convexe, pour une position donnée du point lumineux sur l’axe du miroir ?

Solution. Soit $r$ le rayon du miroir, et soit $d$ la distance de sa surface au point lumineux. Considérons ce miroir, que nous supposons une très-petite portion de la sphère dont il fait partie, comme un miroir hyperbolique ; le paramètre de l’hyperbole génératrice sera $2r,$ et la distance de son sommet au foyer de l’hyperbole opposée sera $d$ en désignant donc par $x$ la distance du même sommet à l’autre foyer, qui est le foyer cherché, on aura, par les propriétés connues de la courbe,