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DOUBLES

$19,\qquad 13,$

ou bien

$-20,\qquad -14,$

et conséquemment, pour ces nombres, eux-mêmes

${\frac {19.20}{2}}={\frac {-20.-19}{2}}=190,\qquad {\frac {13.14}{2}}={\frac {-14.-13}{2}}=91\,;$

c’est, en effet, ce que deviennent respectivement nos deux fonctions, lorsqu’on y suppose $z=3.$

Si, au lieu de résoudre nos deux équations par rapport à $\alpha$ et $\beta ,$ on les résout par rapport à $z,$ il viendra

$z=-{\frac {\alpha ^{2}+\alpha -14}{12\alpha -8}},\qquad z=-{\frac {\beta ^{2}+\beta -8}{8\beta -6}}\,;$

d’où

${\frac {\alpha ^{2}+\alpha -14}{6\alpha -4}}={\frac {\beta ^{2}+\beta -8}{4\beta -3}}\,;$

équation de relation qui fera connaître tant de systèmes de valeurs rationnelles de $\alpha ,\beta ,$ et conséquemment tant de valeurs de $z$ qu’on voudra.

3. S’il arrivait à la fois que, dans l’une et l’autre des deux fonctions proposées, le coefficient du premier terme fût le double d’un quarré, et le dernier terme un nombre triangulaire, on pourrait indistinctement employer l’une ou l’autre des deux méthodes dont nous venons de donner des exemples, et l’on réduirait toujours la question à trouver un nombre qui, substitué à la place de la variable, dans deux fonctions proposées, les fit devenir des quarrés.

4. Si les doubles des deux fonctions proposées étaient, l’un et l’autre, décomposables en deux facteurs ne différant que d’une