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ÉGALITÉS.

ayant, l’une et l’autre, pour coefficient de leur premier terme, le double d’un quarré ; et proposons-nous encore de trouver une valeur de $z$ qui les fasse devenir toutes deux des nombres triangulaires. Ici, nous pourrons supposer que les racines de ces nombres sont respectivement de la forme

$6z+\alpha ,\qquad 4z+\beta \,;$

ce qui donnera les équations de condition

$18z^{2}+7z+7={\tfrac {(6z+\alpha )(6z+\alpha +1)}{2}},\qquad 8z^{2}+5z+4={\tfrac {(4z+\beta )(4z+\beta +1)}{2}}.$

lesquelles deviendront, en chassant les dénominateurs, transposant et réduisant,

$\alpha ^{2}+(12z+1)\alpha -2(4z+7)=0,\qquad \beta ^{2}+(8z+1)\beta -2(3z+4)=0,$

d’où

$\alpha ={\tfrac {-(12z+1)\pm {\sqrt {144z^{2}+56z+57}}}{2}},\qquad \beta ={\tfrac {-(8z+1)\pm {\sqrt {64z^{2}+40z+33}}}{2}}$

tout se réduit donc ici, comme tout-à-l’heure, à trouver une valeur de $z$ qui rende à la fois des quarrés les deux fonctions

$144z^{2}+56z+57,\qquad 64z^{2}+40z+33.$

On trouve, par exemple, qu’on remplit ce but en posant $z=3$ ; il an résulte

$\alpha =1,\qquad \beta =1,$

ou bien

$\alpha =-38,\qquad \beta =-26\,;$

ce qui donne, pour les racines des nombres triangulaires demandés