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DOUBLES

${\frac {168}{25}}={\frac {{\frac {16}{5}}\left({\frac {16}{5}}+1\right)}{2}},\qquad {\frac {558}{25}}={\frac {{\frac {31}{5}}\left({\frac {31}{5}}+1\right)}{2}}\,;$

mais la dernière valeur, comme fractionnaire, doit être rejetée.

À cause du facteur $3$ qui affecte la seconde fonction elle peut encore être décomposée de cette autre manière

$3z^{2}+21z+18=(z+1)(3z+18)\,;$

ce qui fournira les nouvelles équations

$\left.{\begin{aligned}2(z+1)-(3z+18)&=\pm 1\\2(3z+18)-(z+1)&=\pm 1\end{aligned}}\right\}{\rm {{d'o{\grave {u}}}\left\{{\begin{aligned}&z=-17,\\&z=-15,\\&z=-34,\\&z=-36\,;\end{aligned}}\right.}}$

mais aucune de ces valeurs ne coïncidant avec celles qui répondent à la première fonction, il en résulte que cet autre mode de décomposition ne donne lieu à aucune solution nouvelle.

6. Ce dernier procédé peut être généralisé ainsi qu’il suit. On peut écrire

$3z^{2}+13z+4=\left[\alpha (z+4)\right].{\tfrac {3z+1}{\alpha }},\ 3z^{2}+21z+18=\left[\beta (z+6)\right].{\tfrac {3z+3}{\beta }}\,;$

et ensuite

$2\alpha (z+4)-{\frac {3z+1}{\alpha }}=1,\qquad 2\beta (z+6)-{\frac {3z+3}{\beta }}=1\,;$

d’où on tire

$z=-{\frac {8\alpha ^{2}-\alpha -1}{2\alpha ^{2}-3}},\qquad z=-{\frac {12\beta ^{2}-\beta -3}{2\beta ^{2}-3}}\,;$

il s’agira donc de trouver, pour $\alpha$ et $\beta$ des valeurs telles qu’il