Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/117

111

ÉGALITÉS.

$\alpha ={\frac {-19\pm {\sqrt {184z^{2}+36z+41}}}{2(z-1)}},\quad \beta ={\frac {-15\pm {\sqrt {152z^{2}+56z+17}}}{2(z-1)}}\,;$

et, comme $\alpha$ et $\beta$ doivent être rationnels, on voit que le problème est ramené à trouver une valeur de $z$ qui fasse devenir des quarrés les deux fonctions

$184z^{2}+36z+41,\qquad 152z^{2}+56z+17.$

8. Ainsi, en résumé, lorsqu’il n’y a que deux fonctions données seulement, que ces fonctions ne renferment qu’une seule variable, qu’elles sont rationnelles et entières, et qu’enfin elles n’excèdent pas le second degré, nous savons résoudre le problème, 1.^o lorsque les derniers termes de nos deux fonctions sont des nombres triangulaires ; 2.^o lorsque les coefficiens de leurs premiers termes sont les doubles de deux quarrés ; 3.^o lorsque chacune de ces fonctions est décomposable en deux facteurs rationnels du premier degré ; 4.^o enfin, lorsque nous connaissons déjà une solution du problème ; et l’un voit de plus que, dans tous les cas, ce problème se ramène toujours à trouver une valeur de la variable qui rende à la fois quarrées deux fonctions rationnelles et entières du second degré de cette variable.

9. Il ne nous reste plus présentement qu’à généraliser nos méthodes et nos formules ; mais, au lieu de supposer qu’il s’agit de nombres triangulaires, nous supposerons qu’il s’agit de nombres de la forme

${\frac {pt^{2}+qt}{2}},$

où $p$ et $q$ sont deux nombres donnés, formule qui renferme les nombres polygones et beaucoup d’autres, et dont, par analogie, $t$ sera dit la racine.

10. Soient, en premier lieu, les deux formules