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DOUBLES

ces fonctions ne soient pas décomposables en facteurs rationnels, et soient, pour exemple, ces deux fonctions

$23z^{2}+17z+5,\qquad 19z^{2}+7z+2,$

qui sont dans ce cas. Si, par quelque moyen que ce soit, on connaît déjà une solution du problème, rien ne sera plus facile, au moyen de cette solution, que de le ramener au premier des cas précédens.

Dans le cas actuel, par exemple, on résout le problème en posant $z=1,$ puisqu’alors les deux fonctions deviennent

$45={\frac {9.10}{2}},\qquad 28={\frac {7.8}{2}}\,;$

or, en posant $z=\nu +1,$ et substituant, elles deviennent

$23\nu ^{2}-63\nu +45,\qquad 19\nu ^{2}+45\nu +28\,;$

fonctions qui se rapportent au premier cas. On supposera donc, comme alors, que les racines des deux nombres triangulaires cherchés sont

$\alpha \nu +9,\qquad \beta \nu +7\,;$

cela donnera les équations

$23\nu ^{2}-63\nu +45={\tfrac {(\alpha \nu +9)(\alpha \nu +10)}{2}},\quad 19\nu ^{2}+45\nu +28={\tfrac {(\beta \nu +7)(\beta \nu +8)}{2}}\,;$

lesquelles donneront, toutes réductions faites,

$\nu \alpha ^{2}+19\alpha -(46\nu +126)=0,\qquad \nu \beta ^{2}+15\beta -(38\nu +90)=0\,;$

ou, en remettant pour $\nu$ sa valeur $z-1,$

$(z-1)\alpha ^{2}+19\alpha -(46z+80)=0,\ (z-1)\beta ^{2}+15\beta -(38z+52)=0,$

d’où