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ÉGALITÉS.

et, comme $\alpha$ et $\beta$ doivent être rationnels, la question sera réduite à trouver une valeur de $z$ qui rende à la fois quarrées les deux fonctions

${\begin{aligned}&8p\left(Az^{2}+A'z+{\frac {pa^{2}+qa}{2}}\right)+q^{2},\\\\&8p\left(Bz^{2}+B'z+{\frac {pb^{2}+qb}{2}}\right)+q^{2}.\end{aligned}}$

Si, au lieu de résoudre les deux équations par rapport à $\alpha$ et $\beta ,$ on les résout par rapport à $z,$ il viendra

$z=-{\frac {(2pa+q)\alpha -2A'}{p\alpha ^{2}-2A}},\qquad z=-{\frac {(2pb+q)\beta -2B'}{p\beta ^{2}-2B}}\,;$

d’où

${\frac {(2pa+q)\alpha -2A'}{p\alpha ^{2}-2A}}={\frac {(2pb+q)\beta -2B'}{p\beta ^{2}-2B}}.$

équation indéterminée qui renferme tous les systèmes de valeurs de $\alpha$ et $\beta$ qui peuvent résoudre le problème,

11. Soient, en second lieu, les deux fonctions

${\begin{aligned}&2pa^{2}z^{2}+Az+A',\\&2pb^{2}z^{2}+Bz+B',\end{aligned}}$

qu’il faille rendre de la forme

${\frac {pt^{2}+qt}{2}},$

par une détermination convenable de $z.$ En posant, pour les racines respectives,

${\begin{aligned}&2az+\alpha ,\\&2bz+\beta ,\end{aligned}}$