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DOUBLES

nous aurons les équations de condition

${\begin{aligned}&2pa^{2}z^{2}+Az+A'={\frac {p\left(2az+\alpha \right)^{2}+q\left(2az+\alpha \right)}{2}},\\\\&2pb^{2}z^{2}+Bz+B'={\frac {p\left(2bz+\beta \right)^{2}+q\left(2bz+\beta \right)}{2}}\,;\end{aligned}}$

ou, en chassant les dénominateurs et réduisant,

${\begin{aligned}&p\alpha ^{2}+(4paz+q)\alpha +2\left[(qa-A)z-A'\right]=0,\\&p\beta ^{2}+(4pbz+q)\beta +2\left[(qb-B)z-B'\right]=0\,;\end{aligned}}$

d’où on tire

${\begin{aligned}\alpha &={\frac {-(4paz+q)\pm {\sqrt {8p\left(2pa^{2}z^{2}+Az+A'\right)+q^{2}}}}{2p}},\\\\\beta &={\frac {-(4pbz+q)\pm {\sqrt {8p\left(2pb^{2}z^{2}+Bz+B'\right)+q^{2}}}}{2p}}\,;\end{aligned}}$

puis donc que $\alpha ,\beta$ doivent être rationnels, il s’ensuit que la question se trouve réduite à trouver une valeur de $z$ qui rende à la fois des quarrés les deux fonctions

${\begin{aligned}&8p\left(2pa^{2}z^{2}+Az+A'\right)+q^{2},\\&8p\left(2pb^{2}z^{2}+Bz+B'\right)+q^{2}.\end{aligned}}$

Si, au lieu de résoudre les deux équations par rapport à $\alpha$ et $\beta ,$ on les résout par rapport à $z,$ il viendra

$z=-{\frac {1}{2}}.{\frac {p\alpha ^{2}+q\alpha -2A'}{2p\alpha +(qa-A)}},\qquad z=-{\frac {1}{2}}.{\frac {p\beta ^{2}+q\beta -2B'}{2p\beta +(qb-B)}}\,;$

d’où