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ÉGALITÉS.

${\begin{aligned}&5xy+3x+2y+\ \,3,\\&3xy+4x+\ \ y+\ \,7,\\&2xy+7x+4y+13\,;\end{aligned}}$

et supposons qu’on demande un système de valeurs de $x$ et $y$ qui rende la première un nombre triangulaire, la seconde un nombre quarré, et la troisième un nombre pentagone ; comme ces trois sortes de nombres sont respectivement des trois formes

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {t^{2}+t}{2}},\\&\ \ {\frac {2t^{2}}{2}},\\&{\frac {3t^{2}-t}{2}},\end{aligned}}\right\}{\rm {{auxquelles\;r{\acute {e}}pondent}\left\{{\begin{alignedat}{2}p=&1,\quad &q=&1,\\\\p'=&2,&q'=&0,\\\\p''=&3,&q''=&-1,\end{alignedat}}\right.}}$

tout se réduira à trouver un système de valeur de $x$ et $y$ qui rende quarrées les trois fonctions

${\begin{array}{lll}&\ \,8(5xy+3x+2y+\ \,3)+1&=40xy+\ 24x+16y+\ 25,\\&16(3xy+4x+\ \,y+\ \,7)&=48xy+\ 64x+16y+112,\\&24(2xy+7x+4y+13)+1&=48xy+168x+96y+313\,;\end{array}}$

et, comme on y parvient en posant $x=2,\ y=3,$ qui les font respectivement devenir $19^{2},24^{2},35^{2},$ il s’ensuit que ces valeurs