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DOUBLES

18. Ces considérations, fort simples d’ailleurs, nous permettent d’étendre notre théorie à un nombre quelconque de fonctions quelconques, renfermant un nombre quelconque de variables. Soient, par exemple,

${\begin{array}{ll}\operatorname {f} (x,y,z,\ldots ),&{\frac {pt^{2}+qt}{2}},\\\\\operatorname {f} '(x,y,z,\ldots ),&{\frac {p't^{2}+q't}{2}},\\\\\operatorname {f} ''(x,y,z,\ldots ),&{\frac {p''t^{2}+q''t}{2}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \end{array}}$

et supposons qu’on demande un système de valeurs de $x,y,z,\ldots$ qui, substituées dans les fonctions de la première colonne, les fassent devenir des nombres de la forme de ceux qui leur correspondent dans la seconde ; on voit que tout se réduira à trouver un système de valeurs de $x,y,z,\ldots$ dont la substitution fasse devenir des quarrés toutes les fonctions

${\begin{aligned}&8p\,\ .\operatorname {f} \ (x,y,z,\ldots )+q^{2}\,\ ,\\&8p'\,.\operatorname {f} '\,(x,y,z,\ldots )+q'^{2}\,,\\&8p''.\operatorname {f} ''(x,y,z,\ldots )+q''^{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

problème que malheureusement on sait ne résoudre que dans des eau très-limités. On voit, au surplus, que, si les premières fonctions sont rationnelles et entières, les dernières le seront également, et du même degré qu’elles.

19. Soient, par exemple, les trois fonctions