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DES ÉQUATIONS
d’où, en remontant à celles qui précèdent, nous conclurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}Bz+2aC=&-3Dz,\\\\-z+aB=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d666b404c2ce78e6e44dde14c0264b8dd7ad0fb0)
Cela donne
![{\displaystyle B=+{\frac {z}{a}},\qquad C=-{\frac {z^{2}}{2(a^{2}-z^{2})}},\qquad D=+{\frac {z^{3}}{3(a^{2}-z^{2})}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a093b0fc600600bf8f51749e7e5e810b31d95794)
mais la condition relative à la constante donne
![{\displaystyle A={\frac {a-1}{z}}B-{\frac {(a-1)^{2}}{z^{2}}}C+{\frac {(a-1)^{3}}{z^{3}}}D\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94098090eb39134552556106934f4a2d97c1965)
substituant donc les valeurs ci-dessus ; il viendra
![{\displaystyle A={\frac {a-1}{a}}+{\frac {(a-1)^{2}}{2(a^{2}-z^{2})}}+{\frac {(a-1)^{3}}{3(a^{2}-z^{2})}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6491b51217e40c716281156668fb6feabf3a623a)
faisant enfin
et changeant
en
nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685ecf25f4f6380d17e84f89189d1e911aaf9c71)
formule plus exacte que la précédente ; mais, comme elle, seulement pour les valeurs de
peu différentes de l’unité.
Posons encore
![{\displaystyle y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+Fx^{5}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e8612669eb0d2165edfbe3dea312f8e32517d7)
(5″)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+5Fx^{4}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a90f7f6bee2c7e5790586637654debbe4d3d662)
(6″)
en substituant dans l’équation (1), elle deviendra
![{\displaystyle (a+zx)\left(B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+5Fx^{4}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ea6934dd9a32fbb42452f80256108117640cab)