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D’ATTRACTION.

s’agira donc plus, pour en connaître la direction, que d’en assigner la distance polaire, que nous désignerons par $\theta .$

Cela posé, concevons cette force $R$ décomposée, dans le plan de son méridien, en deux autres ; l’une, dirigée vers le pôle, et l’autre $Q$ dirigée dans le plan de l’équateur ; d’après les premières notions de statique, nous aurons

$P=R\operatorname {\operatorname {Cos} } .\theta ,\qquad Q=R\operatorname {\operatorname {Sin} } .\theta .$

La force $Q,$ se dirigeant au milieu de l’arc de l’équateur intercepté entre les deux méridiens qui terminent le trapèze pourra ultérieurement être décomposée, dans l’équateur, en deux forces égales, passant par les extrémités de cet arc ; et, en appelant $S$ l’une de ces forces, on aura

$S.\operatorname {\operatorname {Sin} } .a=Q.\operatorname {\operatorname {Sin} } .{\tfrac {1}{2}}a.$

Éliminant $Q$ entre ces trois équations, on en tire

$R={\sqrt {P^{2}+4S^{2}\operatorname {\operatorname {Cos} } .{\tfrac {1}{2}}a}},\qquad \operatorname {\operatorname {Tang} } .\theta ={\frac {2S\operatorname {\operatorname {Cos} } .{\tfrac {1}{2}}a}{P}}\,;$

de sorte que tout se réduit à trouver $P$ et $S.$

Pour y parvenir, considérons, sur notre trapèze sphérique, un élément $m,$ dont la longitude soit $x,$ et la distance polaire $y.$ Supposons que cet élément soit lui-même un trapèze sphérique isocèle, compris entre deux méridiens interceptant entre eux un arc $\operatorname {d} x$ de l’équateur, et entre deux parallèles interceptant entre eux un arc $\operatorname {d} y$ du premier méridien ; la surface de la zone infiniment étroite dont l’élément $m$ fait partie, ayant pour expression $2\varpi \operatorname {d} y\operatorname {\operatorname {Sin} } .y\,;$ il s’ensuit que la surface même de cet élément sera ${\frac {\operatorname {d} x}{2\varpi }}2\varpi \operatorname {d} y\operatorname {\operatorname {Sin} } .y\,;$ c’est-à-dire, $\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {\operatorname {Sin} } .y\,;$ et l’attraction exercée par ce même élément sur le centre de la sphère, suivant la direction