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CAS DIVERS

du rayon qui lui répond, sera $k\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {Sin} .y\,;k$ étant une constante qui dépendra de l’intensité de la force attractive.

Décomposons cette attraction, que nous pouvons représenter par $\operatorname {d} ^{2}R,$ en deux autres, l’une $\operatorname {d} ^{2}P$ dirigée vers le pôle, et l’autre $\operatorname {d} ^{2}Q$ dirigée vers le point de l’équateur dont la longitude est $x$ par le principe de la composition des forces, nous trouverons, pour les deux composantes,

$\operatorname {d} ^{2}P=k\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {Sin} .y\operatorname {Cos} .y,\qquad \operatorname {d} ^{2}Q=k\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {Sin} .^{2}y.$

Décomposons cette dernière, dans le plan de l’équateur, en deux autres passant par les points de ce cercle dont les longitudes sont $0$ et $a\,;$ en désignant cette dernière par $\operatorname {d} ^{2}S,$ nous aurons

$\operatorname {d} ^{2}S=\operatorname {d} ^{2}Q.{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Sin} .a}}={\frac {k}{\operatorname {Sin} .a}}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .^{2}y.$

Intégrant une première fois, par rapport à $x,$ entre $x=0$ et $x=a,$ nous aurons

$\operatorname {d} P=ka\operatorname {d} y\operatorname {Sin} .y\operatorname {Cos} .y,\qquad \operatorname {d} S=k\operatorname {d} y\operatorname {Sin} .^{2}y\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}a.$

Intégrant une seconde fois, par rapport à $y,$ entre $y=b'$ et $y=b,$ il viendra

$P={\tfrac {1}{2}}ka\operatorname {Sin} .(b+b')\operatorname {Sin} .(b-b'),$

$S={\tfrac {1}{2}}k\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}a.\left\{(b-b')-\operatorname {Sin} .(b-b')\operatorname {Cos} .(b+b')\right\}.$

Substituant enfin ces valeurs dans celles de $R$ et $\operatorname {Tang} .\theta ,$ trouvées ci-dessus, nous aurons

$R={\tfrac {1}{2}}k{\sqrt {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}(b+b')\operatorname {Sin} .^{2}(b-b')+4\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a.\left[(b-b')-\operatorname {Sin} .(b-b')\operatorname {Cos} .(b+b')\right]^{2}}},$(I)

$\operatorname {Tang} .\theta ={\frac {\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}a}{{\tfrac {1}{2}}a}}.{\frac {(b-b')-\operatorname {Sin} .(b-b')\operatorname {Cos} .(b+b')}{\operatorname {Sin} .(b+b')\operatorname {Sin} .(b-b')}}.\qquad$(II)