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CAS DIVERS
tout se réduira à déterminer l’intensité ei la direction de la résultante
de trois forces
dirigées suivant les rayons
qui passent par les milieux des côtés
du triangle, et
ayant respectivement pour expressions
![{\displaystyle X={\sqrt {2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}a,\quad Y={\sqrt {2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}b,\quad Z={\sqrt {2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}c.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae190cbd3d961e2c4893efd90e6a4bd6e29ee6f)
(1)
Désignons respectivement par
les arcs de grands cercles
qui joignent les milieux consécutifs des côtés du triangle,
étant
opposé à
à
et
à
soient de plus
les arcs
de grands cercles menés des mêmes milieux au point inconnu où
la sphère est percée par la résultante,
partant du milieu de
du milieu de
et
du milieu de
nous aurons, par les
théories connues[1],
![{\displaystyle R^{2}=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+2YZ\operatorname {Cos} .\alpha +2ZX\operatorname {Cos} .\beta +2XY\operatorname {Cos} .\gamma .\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed31498c31d11dffd37a0c44ef6ba510fc654540)
(2)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&R\operatorname {Cos} .x=X+Y\operatorname {Cos} .\gamma +Z\operatorname {Cos} .\beta ,\\&R\operatorname {Cos} .y=Y+Z\operatorname {Cos} .\alpha +X\operatorname {Cos} .\gamma ,\\&R\operatorname {Cos} .z=Z+X\operatorname {Cos} .\beta +Y\operatorname {Cos} .\alpha .\\\end{aligned}}\right\}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea136ace1a928b6fab8c5f25c61f334714b07f5c)
(3)
Cela posé, considérons le triangle dont les trois côtés sont
et dans lequel conséquemment l’angle opposé à
est
ce triangle donnera, comme l’on sait,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Cos} .C=\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce2d9ba05e7d2268fd37a4fd3b76a555f74d608)
mais le triangle proposé donne
- ↑ Voyez la pag. 55 du précédent volume.