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D’ATTRACTION.

$\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .C=\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b,$

ou bien

$4\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}b=\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\,;$

divisant donc cette dernière par la première, afin d’éliminer $\operatorname {Cos} .C,$ nous aurons

$4\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}b={\frac {\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b}{\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}b}}\,;$

ou, en chassant le dénominateur et transposant,

$4\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Cos} .\gamma =\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b+4\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b\,;$

mais on a

$4\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b=(1+\operatorname {Cos} .a)(1+\operatorname {Cos} .b)$

$=1+\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\,;$

substituant donc, réduisant et formant les équations analogues pour les deux autres triangles dont $\alpha$ et $\beta$sont des côtés, nous aurons

$\left.{\begin{aligned}&4\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}c\operatorname {Cos} .\alpha =1+\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Cos} .c,\\&4\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}c\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .\beta =1+\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Cos} .c,\\&4\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Cos} .\gamma =1+\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Cos} .c.\end{aligned}}\right\}$(4)

On peut donc, à l’aide de ces dernières formules, calculer $\operatorname {Cos} .\alpha ,\operatorname {Cos} .\beta ,\operatorname {Cos} .\gamma ,$ en fonction de $a,b,c.$ Les premières donneront ensuite $R,x,y,z,$ en fonction de ces mêmes quantités.

Par des principes connus, on a