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DES ÉQUATIONS

hypothétique de $y,$ auquel cas le procédé pourrait passer pour rigoureux, on aurait

$\operatorname {Log} .x={\frac {x-1}{x}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-1}{x}}\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {x-1}{x}}\right)^{3}+{\frac {1}{4}}\left({\frac {x-1}{x}}\right)^{4}$

$+{\frac {1}{5}}\left({\frac {x-1}{x}}\right)^{5}+\ldots \,;$

or, cette valeur est en effet exacte ; car si l’on y fait

${\frac {x-1}{x}}=-t\quad$d’où$\quad x={\frac {1}{1+t}},$

elle devient, en substituant et changeant les signes

$\operatorname {Log} .(1+t)=t-{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{4}}t^{4}+{\frac {1}{5}}t^{5}-\ldots$

formule connue.

Ainsi, l’exemple que nous avons choisi, tout en justifiant complètement notre méthode, montre clairement, en outre, que cette méthode n’est point seulement un procédé approximatif, mais qu’elle peut même donner le développement général et rigoureux en série d’une fonction transcendante proposée.

PROBLÈME II. Trouver le nombre auquel répond un logarithme naturel proposé ?

Solution. Cette question étant l’inverse de la précédente, il faudra, pour la résoudre, changer $x$ en $y$ et vice versâ, dans l’équation de la première, qui deviendra ainsi

$y-{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0,$

ou, en changeant $x$ en $a+zx,$

$zy-{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad$(1)