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ÉQUATIONS

la différence avec cette même unité du terme qui le précédera immédiatement.

Il n’est pas même difficile de voir que, passé le premier terme dans la série des différences $a-1,a_{1}-1,a_{2}-1,\ldots a_{n}-1,$ chaque terme sera réellement moindre que le tiers de celui qui le précédera immédiatement. En effet, il résulte des relations ci-dessus qu’aucun des termes $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{n}$ ne saurait être inférieur à ${\frac {1}{2}}$ et qu’ils seront même toujours plus grands que cette fraction ; on a donc

$a_{n}>{\frac {1}{2}},$

d’où

$a_{n}+1>{\frac {3}{2}},$

et

$2(a_{n}+1)>3,$

donc

${\frac {1}{2(a_{n}+1)}}<{\frac {1}{3}}\,;$

mais on a, en général, par ce qui précède,

${\frac {a_{n}-1}{a_{n-1}-1}}<{\frac {1}{2(a_{n}+1)}}\,;$

donc, à fortiori,

${\frac {a_{n}-1}{a_{n-1}-1}}<{\frac {1}{3}},\quad$ou$\quad a_{n}-1<{\frac {1}{3}}\left(a_{n-1}-1\right).$

comme nous l’avions annoncé.

Cette circonstance facilite singulièrement le calcul des quantités $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{n}.$ On sait, en effet que, lorsque $i$ est une très-petite fraction, on a sensiblement ${\sqrt {1\pm i}}=1\pm {\frac {1}{2}}i\,;$ d’où l’on voit que, lorsqu’on sera parvenu à des termes très-peu différent