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DU TROISIÈME DEGRÉ.

$2a_{1}^{2}=a+1,$

ou

$2\left(a_{1}^{2}-1\right)=a-1,$

d’où

${\frac {a_{1}-1}{a-1}}={\frac {1}{2\left(a_{1}+1\right)}},$

et par conséquent

${\frac {a_{1}-1}{a-1}}<{\frac {1}{2}}\quad$ou$\quad a_{1}-1<{\frac {1}{2}}(a-1),$

la différence de $a_{1}$, avec l’unité sera donc moindre que la moitié de la différence de $a$ avec l’unité.

Donc, si l’on pose successivement

${\begin{alignedat}{2}x=&2x_{1}^{2}-1,\qquad &a_{1}=&{\sqrt {\frac {1+a}{2}}},\\x_{1}=&2x_{2}^{2}-1,&a_{2}=&{\sqrt {\frac {1+a_{1}}{2}}},\\x_{2}=&2x_{3}^{2}-1,&a_{3}=&{\sqrt {\frac {1+a_{2}}{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \\x_{n-1}=&2x_{n}^{2}-1,&a_{n}=&{\sqrt {\frac {1+a_{n-1}}{2}}}\,;\end{alignedat}}$

on aura, quel que soit d’ailleurs l’indice $n$,

$4x_{n}^{3}-3x_{n}=a_{n}\,;$

et la série $a,a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ sera telle que la différence de chacun de ses termes avec l’unité sera moindre que la moitié de