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TRISECTION

$\operatorname {Sin} .a(2\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .3a)=\operatorname {Cos} .a\operatorname {Sin} .3a,$

d’où

$\operatorname {Sin} .a={\frac {\operatorname {Sin} .3a\operatorname {Cos} .a}{2\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .3a}}={\frac {\operatorname {Sin} .3a}{2+{\frac {\operatorname {Cos} .3a}{\operatorname {Cos} .a}}}}.\qquad$(1)

Cela posé, considérons la formule

$\operatorname {Sin} .x_{1}={\frac {\operatorname {Sin} .3a}{2+{\frac {\operatorname {Cos} .3a}{\operatorname {Cos} .x}}}}\,;\qquad$(2)

on en tirera, en prenant les différentielles logarithmiques

${\frac {\operatorname {d} x_{1}\operatorname {Cos} .x_{1}}{\operatorname {Sin} .x_{1}}}=-{\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .3a\operatorname {Sin} .x}{\left(2+{\frac {\operatorname {Cos} .3a}{\operatorname {Cos} .x}}\right)\operatorname {Cos} .^{2}x}}\,;$

ou en mettant pour $2+{\frac {\operatorname {Cos} .3a}{\operatorname {Cos} .x}}$ valeur donnée par l’équation (1), et tirant la valeur de ${\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} x}},$

${\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {\operatorname {Cos} .3a}{\operatorname {Sin} .3a}}.{\frac {\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .^{2}x_{1}}{\operatorname {Cos} .^{2}x\operatorname {Cos} .x_{1}}}\,;$

mais, en comparant les équations (1, 2), on voit que, lorsque $x=a,$ on a $x_{1}=x=a$ ; donc, dans ce même cas, la valeur de ${\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} x}}$ devient

$-{\frac {\operatorname {Tang} .^{3}a}{\operatorname {Tang} .3a}}.$

Donc si, dans la formule (1), on fait $x=a+g$ et $x_{1}=a-h,\ g$ étant un très-petit arc, on aura sensiblement