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DE L’ANGLE.

valeur beaucoup plus approchée encore ; en poursuivant donc toujours ainsi, un parviendra très-rapidement à une valeur extrêmement approchée de la corde des deux tiers de $\mathrm {MN.}$

Cette construction est extrêmement facile à justifier ; soit, en effet, mené le sinus $\mathrm {NP,}$ et soit pris pour unité de longueur le rayon $\mathrm {SM=SN} \,;$ d’où $\mathrm {DE=2} \,;$ en nommant $2x$ et $2x_{1},$ les arcs qui répondent aux cordes dont les longueurs sont $\mathrm {SD}$ et $\mathrm {SD_{1}} ,$ on aura

$2\operatorname {Sin} .x_{1}=\mathrm {SD_{1}} =\mathrm {NP.{\frac {SE}{PE}}} =\operatorname {Sin} .3a{\frac {\mathrm {SE} }{\mathrm {SE} +\operatorname {Cos} .3a}}={\frac {2\operatorname {Sin} .3a}{2+{\frac {2\operatorname {Cos} .3a}{\mathrm {SE} }}}}\,;$

mais on a

$\mathrm {SE} ={\sqrt {{\overline {\mathrm {DE} }}^{2}-{\overline {\mathrm {SD} }}^{2}}}={\sqrt {4-4\operatorname {Sin} .^{2}x}}=2\operatorname {Cos} .x\,;$

donc, en substituant et réduisant,

$\operatorname {Sin} .x_{1}={\frac {\operatorname {Sin} .3a}{2+{\frac {2\operatorname {Cos} .3a}{\operatorname {Cos} .x}}}}$

qui est précisément notre formule (2).

Dans cette trisection, qui est plus simple, en quelque sorte, qu’une bissection, on peut, sans inconvénient, placer, dès l’abord, le point $\mathrm {D}$ d’une manière tout-à-fait arbitraire, et conséquemment le placer en $\mathrm {S} ,$ ce qui est plus simple ; et dès la seconde opération ; l’erreur sera déjà peu sensible. On voit par là que, si l’on s’était trompé dans quelque opération, l’opération qui suivrait corrigerait aussitôt ce que celle-là aurait donné de défectueux ; ainsi qu’il arrive dans la méthode d’approximation de Newton pour les racines incommensurables des équations numériques.