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PROBLÈME

chercher une relation entre l’inconnue primitive et celle qu’on a dessein de lui substituer, et de se servir de cette relation pour éliminer la première des deux inconnues de l’équation déjà obtenue.

Supposons, par exemple, qu’à l’inconnue $M$ on veuille substituer le segment intercepté par la droite cherchée, à partir de l’origine, soit sur l’axe des $x,$ soit sur celui des $y\,;$ en représentant respectivement ces deux segmens par $x$ et par $y,$ nous aurons, comme ci-dessus,

$\left.{\begin{aligned}&x=-{\frac {b-Ma}{M}},\\&y=\ \ b-Ma\,;\end{aligned}}\right\}{\rm {{d'o{\grave {u}}}\left\{{\begin{aligned}&M=-{\frac {b}{x-a}},\\&M=-{\frac {y-b}{a}}\,;\end{aligned}}\right.}}$

substituant successivement ces valeurs dans l’équation (1), elle deviendra, toutes réductions faites,

$\left.{\begin{array}{lc}&(x-a)^{4}+2(a-b\operatorname {Cos} .\gamma )(x-a)^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-4ab\operatorname {Cos} .\gamma \right)(x-a)^{2}\\\\&+2ab(b-a\operatorname {Cos} .\gamma )(x-a)+a^{2}b^{2}=0,\\\\&(y-b)^{4}+2(b-a\operatorname {Cos} .\gamma )(y-b)^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-4ab\operatorname {Cos} .\gamma \right)(y-b)^{2}\\\\&+2ab(a-b\operatorname {Cos} .\gamma )(y-b)+a^{2}b^{2}=0\,;\end{array}}\right\}$(2)

ou encore

$\left.{\begin{aligned}&x^{4}-2(a+b\operatorname {Cos} .\gamma )x^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab\operatorname {Cos} .\gamma \right)x^{2}\\&\qquad \qquad \qquad +2ac^{2}x-a^{2}c^{2}=0,\\\\&y^{4}-2(b+a\operatorname {Cos} .\gamma )y^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab\operatorname {Cos} .\gamma \right)y^{2}\\&\qquad \qquad \qquad +2bc^{2}y-b^{2}c^{2}=0.\end{aligned}}\right\}$(3)

On se comporterait de la même manière à l’égard de toute autre inconnue qu’on voudrait choisir.

L’équation (1) n’est point, en général, susceptible d’abaissement, et ne peut conséquemment fournir une construction graphique rigoureuse, exécutée avec la règle et le compas seulement ; mais si la relation entre les données était telle que le problème n’eût