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DE NEWTON.
que trois solutions, ou, ce qui revient au même, que cette équation eût deux racines égales, le problème pourrait fort bien se
résoudre alors géométriquement. En effet, la dérivée de cette
équation qui est
![{\displaystyle 2a^{2}M^{3}-3a(b-a\operatorname {Cos} .\gamma )M^{2}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-4ab\operatorname {Cos} .\gamma \right)M-b(a-b\operatorname {Cos} .\gamma )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fbe81d456a1a53ad6416d64c93fe6d6a331332)
devrait avoir lieu en même temps qu’elle. Éliminant donc
entre l’une et l’autre, l’équation résultante en
exprimerait la relation, entre les données, qui convient à ce cas. De plus, on obtiendrait, chemin faisant, une équation en
du premier degré, ou tout au plus du second, dont la résolution conduirait à celle du problème proposé.
Si l’on suppose que les droites données sont perpendiculaires
entre elles, on aura
et l’équation (1) deviendra
![{\displaystyle a^{2}M^{4}-2abM^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)M^{2}-2abM+b^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eddf13009cd171007afaa4903c6f51fe990346bf)
les équations (2) deviendront, dans le même cas,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(x-a)^{4}+2a(x-a)^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)(x-a)^{2}+2ab^{2}(x-a)+a^{2}b^{2}=0,\\\\&\ (y-b)^{4}+\ 2b(y-b)^{3}\ +\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)(y-b)^{2}+2a^{2}b(y-b)\ +a^{2}b^{2}=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be0aadd41e4b76485a385eedfa94df908d2a272)
ou bien
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{4}-2ax^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)x^{2}+2ac^{2}x-a^{2}c^{2}=0,\\\\&\ y^{4}-\ 2by^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)y^{2}+2bc^{2}y\ -b^{2}c^{2}=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce06cb7cac5a0de3a19bd8cfa19efc3c9998a9c5)
et il n’en résultera aucune simplification notable dans la solution du problème.
Il n’en sera pas de même, si l’on suppose que le point donné
est situé sur la droite qui divise en deux parties égales l’angle
dans lequel il se trouve situé ; on aura alors, en effet,
et
l’équation (1) deviendra