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DE NEWTON.

divisant tous ses termes par $M^{2},$ et rassemblant deux à deux ceux qui se trouvent à égale distance des extrêmes, il viendra

$a^{2}\left(M^{2}+{\frac {1}{M^{2}}}\right)-4a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma \left(M+{\frac {1}{M}}\right)+\left[8a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma -\left(2a^{2}+c^{2}\right)\right]=0\,;$

ou encore

$a^{2}\left(M+{\frac {1}{M}}\right)^{2}-4a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma \left(M+{\frac {1}{M}}\right)+\left[8a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma -\left(4a^{2}+c^{2}\right)\right]=0\,;$

posant donc

$M+{\frac {1}{M}}=z,\quad$d’où$\qquad M={\frac {z\pm {\sqrt {z^{2}-4}}}{2}},$

cette équation deviendra

$a^{2}z^{2}-4a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma .z+\left[8a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma -\left(4a^{2}+c^{2}\right)\right]=0\,;$

et donnera

$z={\frac {2a\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma \pm {\sqrt {c^{2}+4a^{2}\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{2}}\gamma }}}{a}}\,;$

d’où

$z^{2}=4.{\frac {a\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma +a\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{2}}\gamma \pm \operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma {\sqrt {c^{2}+4a^{2}\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{2}}\gamma }}}{a}},$

et

$z^{2}-4=-4\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma .{\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma \mp {\sqrt {c^{2}+4a^{2}\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{2}}\gamma }}}{a}}\,;$

substituant donc dans la valeur de $M,$ elle deviendra

$M={\frac {a\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma \pm {\sqrt {c^{2}+4a^{2}\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{2}}\gamma }}\pm \operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma .{\sqrt {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma \mp a{\sqrt {c^{2}+4a^{2}\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{2}}\gamma }}}}}{a}},$

valeur que nous ne nous arrêterons pas à construire, attendu que