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INTÉGRATION
![{\displaystyle 1=A\left\{1-a+a^{2}.{\frac {15\left(4-z^{2}\right)}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}-a^{3}.{\frac {5\left(4-z^{2}\right)}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd7063258bab8da413d09a47d8d9a58151e2095)
![{\displaystyle \left.+a^{4}.{\frac {5}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}-a^{5}.{\frac {1}{2\left(60-15z^{2}+2z^{4}\right)}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de1ad959c6b4e7ae5f75a7aaa44fab9f2ac6f547)
faisant enfin
tirant la valeur de
et changeant
en
nous aurons, pour troisième approximation,
![{\displaystyle e^{x}={\frac {1}{1-{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{5}}{5!}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43535150e7cf074eb78a04c67195dc81d55ac36)
Il n’en faut pas davantage pour être conduit à soupçonner que
l’on doit avoir généralement et rigoureusement
![{\displaystyle e^{x}={\frac {1}{1-{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{5}}{5!}}+\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6669ab1b630f1c6796519d5d5516e26a3a87937a)
et en effet, cette formule est exacte ; car, en y changeant
en
elle devient
![{\displaystyle e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1bcfc92180ebe127c5e6c1dd4b378362c55046)
formule connue.
PROBLÈME III. Trouver le sinus et le cosinus d’un arc donné quelconque ?
Solution. Soit
l’arc donné et
son sinus ; on aura l’équation
![{\displaystyle y=\operatorname {Sin} .x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee90d0c771c80c52831faea334578d1e0c158c46)
d’où, en différentiant,