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DES ÉQUATIONS

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\operatorname {Cos} .x\,;$

en prenant la somme des quarrés de ces deux équations, il viendra

$y^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}=1.$

Pour nous délivrer des quarrés, qui embarrasseraient le calcul, différentions de nouveau ; ce qui donnera, en divisant par ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},$

$y+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=0.$

Les deux constantes que comporte l’intégrale de cette équation doivent être déterminées par cette double considération qu’à $x=0$ doivent répondre $y=0$ et ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=1.$

Changeons${\displaystyle }$ x $en$ a+zx ; l’équation différentielle deviendra

$z^{2}y+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=0\,;\qquad$(1)

les deux constantes devront alors être déterminées par cette double considération qu’à $a+zx=0$ ou à $x=-{\frac {a}{z}}$ doivent répondre $y=0,$ ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=z\,;$ et les sinus et cosinus de $a$ seront ce que deviennent $y$ et ${\frac {1}{z}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},$ respectivement, lorsqu’on suppose $x=0.$

Comme nous avons déjà deux conditions à remplir, relativement aux constantes ; la supposition la plus simple que nous puissions admettre est

$y=A+Bx+Cx^{2}\,;\qquad$ (5)

d’où