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PROBLÈME DE NEWTON.

terminent sur l’axe des $x,$ pour le cas où l’angle est droit et le point donné quelconque ; cette équation est

$x^{4}-2ax^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)x^{2}+2ac^{2}x-a^{2}c^{2}=0.$

Si l’on fait disparaître son second terme, en posant $x=z+{\tfrac {1}{2}}a,$ elle deviendra

$z^{4}-{\left(c^{2}-b^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}a^{2}}z^{2}+a\left(c^{2}+b^{2}\right)z+{\tfrac {1}{4}}a^{2}\left\{\left(c^{2}-b^{2}\right)-{\tfrac {1}{4}}a^{2}\right\}=0.$

Supposons donc qu’on ait à construire l’équation, sans second terme,

$z^{4}+pz^{2}+qz+r=0,$

on supposera qu’elle est la même que celle ci-dessus, ce qui donnera

$\left(c^{2}-b^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}a^{2}+p=0,\qquad a\left(c^{2}+b^{2}\right)-q=0,$

${\tfrac {1}{4}}a^{2}\left\{\left(c^{2}-b^{2}\right)-{\tfrac {1}{4}}a^{2}\right\}-r=0\,;$

d’où on tirera facilement

${\begin{aligned}&a={\frac {1}{3}}{\sqrt {-6\left(p\mp {\sqrt {p^{2}-12r}}\right)}},\\&b={\frac {1}{4a}}{\sqrt {2\left(4qa-a^{4}-16r\right)}},\\&c={\frac {1}{4a}}{\sqrt {2\left(4qa+a^{4}+16r\right)}}.\end{aligned}}$

Traçant donc deux droites indéfinies, perpendiculaires l’une à l’autre, considérées comme axes des coordonnées ; prenant dans l’angle des coordonnées positives un point $\mathrm {P} ,$ dont les coordonnées soient les valeurs de $a,b,$ prises sur une échelle de parties égales ; résolvant mécaniquement notre problème pour ces droites et ce point et pour la longueur $c,$ prise sur la même échelle ; les segmens déterminés sur l’axe des $x,$ à partir de l’origine, pris avec leurs signes, réduits en nombres, au moyen de l’échelle, et diminués de ${\tfrac {1}{2}}a$ seront les valeurs de $z.$