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SÉRIES

en supposant $z=q,$ on aura $x=\infty ,{\frac {z}{x}}=0$ et ${\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}=1\,;$ substituant donc, il viendra, en transposant,

$1={\frac {2}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}+{\frac {2.4}{5.7}}+{\frac {2.4.6}{5.7.9}}+{\frac {2.4.6.8}{5.7.9.11}}+\ldots \right)\,;$

multipliant celle ci par 3, transposant et réduisant, nous aurons

$2={\frac {2}{5}}+{\frac {2.4}{5.7}}+{\frac {2.4.6}{5.7.9}}+{\frac {2.4.6.8}{5.7.9.11}}+{\frac {2.4.6.8.10}{5.7.9.11.13}}+\ldots$

multipliant cette dernière par ${\tfrac {5}{2}},$ transposant et réduisant, on aura

$4={\frac {4}{7}}+{\frac {4.6}{7.9}}+{\frac {4.6.8}{7.9.11}}+{\frac {4.6.8.10}{7.9.11.13}}+\ldots$

Un procédé semblable pouvant êlre répété indéfiniment, on aura, en général,

$2n={\frac {2n}{2n+3}}+{\frac {2n}{2n+3}}.{\frac {2n+2}{2n+5}}+{\frac {2n}{2n+3}}.{\frac {2n+2}{2n+5}}.{\frac {2n+4}{2n+7}}+\ldots$

résultat remarquable, qu’il serait peut-être difficile d’obtenir à priori et qui peut faciliter les réductions dans certains calculs^[1].

V. Soit représenté, en général, par $(i,n)$ une fonction telle que

${\frac {i}{1}}.{\frac {i-1}{2}}.{\frac {i-2}{3}}\ldots {\frac {i-n}{1+n}}\,;$

on aura

$(i,k+1)=(i,k),{\frac {i-[k+1]}{k+2}}\,;$

d’où on tire, par intégration,

1. Il serait curieux de savoir si cette formule aurait également lieu pour une valeur fractionnaire ou négative de $n.$
   J. D. G.