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DIVERSES.
![{\displaystyle \int (i,k+1)\operatorname {d} i=-{\frac {k+1}{k+2}}\int (i,k)\operatorname {d} i+{\frac {1}{k+2}}\int (i,k)i\operatorname {d} i\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e29c8222d7bf86f50e304696f7dce5e7c7cb97e)
en posant donc, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {\int (i,k)i\operatorname {d} i}{\int (i,k)\operatorname {d} x}}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b920deb1be04d1c05b5dd67dd4b0b7cf3d2d9580)
cette équation deviendra
![{\displaystyle \int (i,k+1)\operatorname {d} i=-\int (i,k)\operatorname {d} i\times {\frac {k+1-u}{k+2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea517a45ffb7fb18024d3d5955d5607d3e92246)
Si l’on prend les intégrales depuis
jusqu’à
la fonction
sera positive et moindre que l’unité ; d’où l’on voit qu’entre ces
limites
est moindre que
et de signe contraire.
Il est même facile de s’assurer que, si l’on représente par
l’intégrale
prise entre ces limites, tous les nombres
seront positifs.
VI. Cela posé, si
représente une fonction déterminée de
et qu’on désigne par
la valeur que prend
lorsqu’on change
en
l’on aura, comme l’on sait, en posant
![{\displaystyle y_{i}=y+(i,0)\Delta y+(i,1)\Delta ^{2}y+(i,2)\Delta ^{3}y+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e402eefdbb712a84904ad23ca279eb2f3d106953)
multiplant par
et intégrant entre les limites
et
on trouvera, en vertu de ce qui précède,
![{\displaystyle \Delta \int y\operatorname {d} x=y+A_{0}\Delta y-A_{1}\Delta ^{2}y+A_{2}\Delta ^{3}y-A_{3}\Delta ^{4}y+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47c4c736e357900979ce4468627d3fb93838ee6)
(6)
en observant qu’entre ces limites
Intégrant la formule (6) par rapport à
on aura
![{\displaystyle \int y\operatorname {d} x=\Sigma y+A_{0}y-A_{1}\Delta y+A_{2}\Delta ^{2}y-\ldots +Const.\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f365b8b68e7d8adc8ce73f966998da6ed26b78)
(7)
d’où, en transposant et changeant de constante