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SÉRIES
![{\displaystyle (i,n+1)=\int (i,n)\operatorname {d} i-{\frac {1}{2}}\int (i,n-1)\operatorname {d} i+{\frac {1}{3}}\int (i,n-2)\operatorname {d} i-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f9e6b477bc505393b4bf5829741df886fd882d)
![{\displaystyle \ldots +{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\int (i,0)\operatorname {d} i+{\frac {(-1)^{n+1}}{n+2}}i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2468adc2952027b1e57f1ad18dfdcbae11020306)
Si, dans cette dernière formule, on prend les intégrales depuis
jusqu’à
en mettant pour
prises entre ces limites, les nombres qui les représentent et que nous avons appelés
on trouvera
![{\displaystyle 0=A_{n}+{\frac {1}{2}}A_{n-1}+{\frac {1}{3}}A_{n-2}+\ldots +{\frac {1}{n+1}}A_{0}-{\frac {1}{n+2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c11572b22a1c580f2ceb15ab45d3642da71a08f)
On tire de là
![{\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n+2}}-\left({\frac {A_{n-1}}{2}}+{\frac {A_{n-2}}{3}}+{\frac {A_{n-3}}{4}}+{\frac {A_{n-4}}{5}}+\ldots {\frac {A_{0}}{n+1}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c4b0451f607ee8b8bb0d5449f6e971e933eb82)
ou encore, en observant que ![{\displaystyle A_{0}={\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a032b60197da8bf4fe161122d07fe57b4a34ae6d)
![{\displaystyle A_{n}={\frac {n}{2(n+1)(n+2)}}-\left({\frac {A_{n-1}}{2}}+{\frac {A_{n-2}}{3}}+{\frac {A_{n-3}}{4}}+{\frac {A_{n-4}}{5}}+\ldots {\frac {A_{1}}{n}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffda93e0c520adab778b3f440c27b77e5433775)
formule qui servira à déduire les uns des autres les nombres
que nous avons substitués, dans nos formules, aux nombres de Bernoulli. En observant que
on trouvera
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}A_{0}&={\frac {1}{2}}&=0{,}50000000,\\A_{1}&={\frac {1}{12}}&=0{,}08333333,\\A_{2}&={\frac {1}{24}}&=0{,}04166666,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b825bdd87bec5f3c78bb4145a48cdd534ff67f7)