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DIVERSES.

On pourrait faire une infinité d’applications des séries (6, 7, 8) ; mais, comme elles ne sauraient offrir de difficulté, nous ne nous y arrêterons pas. Nous nous contenterons d’observer que la formule (6) est comprise, comme cas particulier, dans la suivante

$\Delta ^{k}\int y\operatorname {d} x=\Delta ^{k-1}y+A_{0}\Delta ^{k}y-A_{1}\Delta ^{k+1}y+A_{2}\Delta ^{k+2}y+\ldots$

qui s’en déduit avec la plus grande facilité.

VIII. On peut employer aussi ; dans un grand nombre de cas, la formule suivante

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\Delta y-{\frac {1}{2}}\Delta ^{2}y+{\frac {1}{3}}\Delta ^{3}y-{\frac {1}{4}}\Delta ^{4}y+\ldots$

d’où on conclut

$\Sigma {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=y-{\frac {1}{2}}\Delta y+{\frac {1}{3}}\Delta ^{2}y-{\frac {1}{4}}\Delta ^{3}y+\ldots +Const.$

nous nous contenterons d’en faire les deux applications suivante.

Soit $y={\frac {1}{x}},\quad$d’où$\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {1}{x^{2}}}\,;$ on aura

$\Sigma {\frac {1}{x^{2}}}=\mathrm {Const} .-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}.{\frac {1}{x(x+1)}}-{\frac {1}{3}}.{\frac {1.2}{x(x+1)(x+2)}}-\ldots$

série tout à la fois régulière et convergente.

Soit encore $y=\int (i,n)\operatorname {d} i,$ l’on aura ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} i}}=(i,n),\Sigma {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} i}}$$=(i,n+1)$$+C,$ et $\Delta ^{k}y=\Delta ^{k}\int (i,n)\operatorname {d} i=\int \operatorname {d} i\Delta ^{k}(i,n)\,;$ partant, en observant que

$\Delta ^{k}(i,n)=(i,n-k),\qquad \Delta ^{n+1}(i,n)=1,\qquad \Delta ^{n+1+\alpha }(i,n)=0,$

nous aurons