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DES ÉQUATIONS

$\operatorname {Sin} .x={\frac {x}{1+{\frac {x^{2}}{2}}}},\qquad \operatorname {Cos} .x={\frac {1-{\frac {x^{2}}{2}}}{1+{\frac {x^{2}}{2}}}}\,;$

d’où

$\operatorname {Tang} .x={\frac {x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}.$

Posons, en second lieu,

$y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4},\qquad$(5′)

d’où

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=2C+6Dx+12Ex^{2}.$ (6′)

en substituant ces valeurs dans l’équation (1), elle deviendra

$z^{2}\left(A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}\right)+2\left(C+3Dx+6Ex^{2}\right)=0\,;$

ou, en ordonnant,

$\left(Az^{2}+2C\right)+\left(Bz^{2}+6D\right)x+\left(Cz^{2}+12E\right)x^{2}+Dz^{2}x^{3}+Ez^{2}x^{4}=0\,;$ (7′)

supposant successivement $x$ égal à $-1,0,+1$, il viendra

${\begin{aligned}0=&\left(Az^{2}+2C\right)-\left(Bz^{2}+6D\right)+\left(Cz^{2}+12E\right)-Dz^{2}+Ez^{2},\\0=&\left(Az^{2}+2C\right),\\0=&\left(Az^{2}+2C\right)+\left(Bz^{2}+6D\right)+\left(Cz^{2}+12E\right)+Dz^{2}+Ez^{2}\,;\end{aligned}}$

prenant les différences consécutives de ces trois équations, il viendra

${\begin{aligned}0=&\left(Bz^{2}+6D\right)-\left(Cz^{2}+12E\right)+Dz^{2}-Ez^{2},\\0=&\left(Bz^{2}+6D\right)+\left(Cz^{2}+12E\right)+Dz^{2}-Ez^{2}\,;\end{aligned}}$