Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/24

20

INTÉGRATION

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx,\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=2C\,;\qquad$(6)

de sorte qu’on aura

$\operatorname {Sin} .a=A,\qquad \operatorname {Cos} .a={\frac {B}{z}}.$

En substituant dans l’équation (1), elle deviendra

$z^{2}\left(A+Bx+Cx^{2}\right)+2C=0\,;$

c’est-à-dire,

$\left(Az^{2}+2C\right)+Bz^{2}+Cz^{2}x^{2}=0.\qquad$(7)

Nous ferons ici la seule hypothèse $x=0$ ; laquelle donnera

$Az^{2}+2C=0,$

ou bien

$A+2{\frac {C}{z^{2}}}=0\,;$

les conditions relatives aux constantes donnent d’ailleurs,

$0=A-a{\frac {B}{z}}+a^{2}{\frac {C}{z^{2}}},\qquad 1={\frac {B}{z}}-2a{\frac {C}{z^{2}}}\,;$

éliminant donc ${\frac {C}{z^{2}}}$ entre ces équations, et tirant des équations résultantes les valeurs de $A$ et ${\frac {B}{z}},$ il viendra

$A={\frac {a}{1+{\frac {a^{2}}{2}}}},\qquad {\frac {B}{z}}={\frac {1-{\frac {a^{2}}{2}}}{1+{\frac {a^{2}}{2}}}},$

d’où $z$ disparaît de lui-même. Changeant donc $a$ en $x,$ nous aurons, pour première approximation,