Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/268

260

FRACTIONS

Euler a démontré cette formule pour quelques cas particuliers ; dans son Introduction.

Problème. II.

6. Décomposer la fraction ${\frac {1}{\left(1-\alpha x+\beta x^{2}-\gamma x^{3}\right)^{m}}}$ en cette suite de fractions simples

${\begin{alignedat}{4}{\frac {A}{(1-px)^{m}}}&+&{\frac {B}{(1-px)^{m-1}}}&+&{\frac {C}{(1-px)^{m-2}}}&+&\ldots &+{\frac {Z}{1-px}}\\\\+{\frac {A'}{(1-p'x)^{m}}}&+&{\frac {B'}{(1-p'x)^{m-1}}}&+&{\frac {C'}{(1-p'x)^{m-2}}}&+&\ldots &+{\frac {Z'}{1-p'x}}\\\\+{\frac {A''}{(1-p''x)^{m}}}&+&{\frac {B''}{(1-p''x)^{m-1}}}&+&{\frac {C''}{(1-p''x)^{m-2}}}&+&\ldots &+{\frac {Z''}{1-p''x}}\,;\end{alignedat}}$

en supposant que $1-px,\ 1-p'x,\ 1-p''x$ sont les trois facteurs inégaux de $1-\alpha x+\beta x^{2}-\gamma x^{3}$

Soit $1-px=\omega ,$ d’où $x={\frac {1-\omega }{p}}\,;$ en posant pour abréger

${\begin{aligned}&{\frac {\alpha }{p}}-{\frac {2\beta }{p^{2}}}+{\frac {3\gamma }{p^{3}}}=a,\\\\&{\frac {\beta }{p^{2}}}-{\frac {3\gamma }{p^{3}}}=b,\\\\&{\frac {\gamma }{p^{3}}}=c,\end{aligned}}$

la quantité $1-\alpha x+\beta x^{2}-\gamma x^{3}$ deviendra $a\omega +b\omega ^{2}+c\omega ^{3}.$ Mais en regardant $\omega$ comme infiniment petit, les seuls termes infinis qui résultent de la fraction proposée sont