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FRACTIONS

${\begin{alignedat}{2}T(^{k)}&={\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\frac {m+k-1}{k}}.{\frac {b^{k}}{a^{k}}}&\\\\&-{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\frac {m+k-2}{k-1}}.{\frac {k-1}{1}}.{\frac {b^{k-2}c}{a^{k-1}}}&\\\\&+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}&\ldots \ldots \ldots {\frac {m+k-3}{k-2}}.{\frac {k-2}{1}}.{\frac {k-3}{2}}.{\frac {b^{k-4}c^{2}}{a^{k-2}}}&\\\\&-{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}&\ldots {\frac {m+k-4}{k-3}}.{\frac {k-3}{1}}.{\frac {k-4}{2}}.{\frac {k-5}{3}}.{\frac {b^{k-6}c^{3}}{a^{k-3}}}&\\\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\end{alignedat}}$

Si, relativement aux autres racines $p',p'',$ on fait les mêmes opérations, et que les quantités analogues à $T^{(k)}$ soient $S^{(k)}$ et $V^{(k)}$, la fraction proposée se changera en ces trois suites de fractions simples

${\begin{aligned}&{\frac {1}{a^{m}}}\left\{{\frac {1}{(1-p\ \ x)^{m}}}-{\frac {T'}{(1-p\ \ x)^{m-1}}}+{\frac {T''}{(1-p\ \ x)^{m-2}}}-{\frac {T'''}{(1-p\ \ x)^{m-3}}}+\ldots \right\}\\\\+&{\frac {1}{a'^{m}}}\left\{{\frac {1}{(1-p'\ x)^{m}}}-{\frac {S'}{(1-p'\ x)^{m-1}}}+{\frac {S''}{(1-p'\ x)^{m-2}}}-{\frac {S'''}{(1-p'\ x)^{m-3}}}+\ldots \right\}\\\\+&{\frac {1}{a''^{m}}}\left\{{\frac {1}{(1-p''x)^{m}}}-{\frac {V'}{(1-p''x)^{m-1}}}+{\frac {V''}{(1-p''x)^{m-2}}}-{\frac {V'''}{(1-p''x)^{m-3}}}+\ldots \right\}\end{aligned}}$

Au lieu de déduire les quantités $T',T'',T''',$ et leurs analogues de la loi générale exposée ci-dessus, on pourra, si l’on veut, les tirer du développement de la fraction ${\frac {1}{\left(1+{\frac {b}{a}}\omega +{\frac {c}{a}}\omega ^{2}\right)^{m}}}$, qui doit donner $1-T'\omega +T''\omega ^{2}$$-T'''\omega ^{3}+\ldots$ jusqu’au $m.$^me terme inclusi-