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FRACTIONS

$-{\frac {88}{9}}.{\frac {1}{(1+2x)^{3}}}-{\frac {728}{27}}.{\frac {1}{(1+2x)^{2}}}-{\frac {464}{9}}.{\frac {1}{1+2x}}.$

Rassemblant donc ces trois résultats, on aura

${\frac {1-2x+3x^{2}}{x^{3}(1-x)^{2}(1+2x)^{3}}}={\frac {1}{x^{3}}}-{\frac {6}{x^{2}}}+{\frac {26}{x}}+{\frac {2}{27}}.{\frac {1}{(1-x)^{2}}}+{\frac {2}{9}}.{\frac {1}{1-x}}$

$-{\frac {88}{9}}.{\frac {1}{(1+2x)^{3}}}-{\frac {728}{27}}.{\frac {1}{(1+2x)^{2}}}-{\frac {464}{9}}.{\frac {1}{1+2x}}.$

Exemple 2. Soit proposé de décomposer en fractions partielles la fraction

${\frac {x^{m-1}}{1-2a^{n}x^{n}\operatorname {Cos} .\theta +a^{2n}x^{2n}}}$ ?

(Voyez cet exemple à la fin du Calcul différentiel d’Euler.)

Si l’on appelle $\varpi$ l’arc de $180^{\circ },$ et qu’on prenne

$\phi ={\frac {2k\varpi \pm \theta }{n}},$

$k$ étant un entier ; un facteur quelconque du dénominateur sera $1-ax\left(\operatorname {Cos} .\phi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\phi \right).$ Soit donc

$1-ax\left(\operatorname {Cos} .\phi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\phi \right)=\omega ,$

ou

$x={\frac {\operatorname {Cos} .\phi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\phi }{a}}-{\frac {\omega }{a}}\left(\operatorname {Cos} .\phi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\phi \right)\,;$

comme il n’y a point de facteurs égaux, il suffira d’avoir, dans le numérateur, le terme constant, et dans le dénominateur celui qui est affecté de $\omega$ au premier degré. On aura donc