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RATIONNELLES.

${\frac {x^{m-1}}{1-2a^{n}x^{n}\operatorname {\operatorname {Cos} } .\theta +a^{2n}x^{2n}}}=$

${\frac {1}{a^{m-1}}}.{\frac {\operatorname {Cos} .(m-1)\phi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-1)\phi }{2n\omega \left(\operatorname {Cos} .n\phi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .n\phi \right).2n\omega \left(\operatorname {Cos} .2n\phi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2n\phi \right)}}$

Mais, à cause de $\operatorname {Cos} .n\phi =\operatorname {Cos} .\theta$ et $\operatorname {Sin} .n\phi =\pm \operatorname {Sin} .\theta ,$ cette expression devient

$\pm {\frac {1}{a^{m-1}\operatorname {Sin} .\theta }}.{\frac {-{\sqrt {-1}}\operatorname {Cos} .(m-n-1)\phi -\operatorname {Sin} .(m-n-1)\phi }{1-ax\left(\operatorname {Cos} .\phi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\phi \right)}}\,;$

C’est la fraction partielle demandée. Elle ne peut manquer d’être accompagnée de la fraction

$\pm {\frac {1}{a^{m-1}\operatorname {Sin} .\theta }}.{\frac {+{\sqrt {-1}}\operatorname {Cos} .(m-n-1)\phi -\operatorname {Sin} .(m-n-1)\phi }{1-ax\left(\operatorname {Cos} .\phi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\phi \right)}}\,;$

la somme des deux donnera la fraction réelle

$\pm {\frac {1}{a^{m-1}\operatorname {Sin} .\theta }}.{\frac {ax\operatorname {Sin} .(m-n)\phi -\operatorname {Sin} .(m-n-1)\phi }{1-2ax\operatorname {Cos} .\phi +a^{2}x^{2}}}\,;$

quant au signe ambigu ; il est relatif à celui de $\theta$ dans la valeur $\phi ={\frac {2k\varpi \pm \theta }{n}}.$

Si l’on donne à $k$ les valeurs successives $0,1,2,\ldots$ jusqu’à ce qu’on ait $n$ de ces fractions, leur somme sera égale à la fraction proposée.

Problème. IV.

12. Soit $\left(1-\alpha x+\beta x^{2}\right)^{n}$ un facteur du dénominateur de la fraction rationnelle ${\frac {P}{Q}}\,;$ on propose de trouver directement les fractions partielles

${\frac {A+Bx}{\left(1-\alpha x+\beta x^{2}\right)^{n}}}+{\frac {A'+B'x}{\left(1-\alpha x+\beta x^{2}\right)^{n-1}}}+{\frac {A''+B''x}{\left(1-\alpha x+\beta x^{2}\right)^{n-2}}}+\ldots$