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FRACTIONS

${\frac {1}{4\left[\left(8+20\omega +3\omega ^{2}\right)x+8-2\omega -6\omega ^{2}\right].}}$

Pour chasser les $x$ du dénominateur, je trouve qu’il faut multiplier les deux termes par $\left(8+20\omega +3\omega ^{2}\right)x+22\omega +9\omega ^{2}\,;$ alors cette fraction devient

${\frac {\left(8+20\omega +3\omega ^{2}\right)x+22\omega +9\omega ^{2}}{16\left(8-12\omega +9\omega ^{2}\right)}}={\frac {x}{16}}\left(1+4\omega +{\frac {21}{4}}\omega ^{2}\right)+{\frac {11\omega +21\omega ^{2}}{64}}\,;$

donc le facteur $\left(1+2x+2x^{2}\right)^{3}$ donne les fractions partielles

${\frac {1}{16}}.{\frac {x}{\left(1+2x+2x^{2}\right)^{3}}}+{\frac {11+16x}{64\left(1+2x+2x^{2}\right)^{2}}}+{\frac {21+21x}{64\left(1+2x+2x^{2}\right)}}.$

L’autre facteur donnera pareillement, en changeant le signe de $x,$

$-{\frac {1}{16}}.{\frac {x}{\left(1-2x+2x^{2}\right)^{3}}}+{\frac {11-16x}{64\left(1-2x+2x^{2}\right)^{2}}}+{\frac {21-21x}{64\left(1-2x+2x^{2}\right)}}\,;$

et ces six fractions équivaudront à la fraction proposée ${\frac {1}{(1+4x^{4})^{3}}}.$

Remarque. Si, après avoir décomposé la fraction ${\frac {1}{(1+4x^{4})^{3}}},$ dont le numérateur est $1,$ on proposait une fraction semblable ${\frac {1+8x^{6}}{(1+4x^{4})^{3}}},$ dont le numérateur fût à volonté ; on pourrait, sans recommencer le calcul, multiplier les parties trouvées par la valeur du numérateur. Ainsi, on trouverait pour $1+8x^{6}$ l’expression

$1-5\omega +3\omega ^{2}+\left(2-4\omega -6\omega ^{2}\right)x,$

par laquelle multipliant ce que nous avons déjà trouvé

${\frac {x}{16}}\left(1+4\omega +{\frac {21}{4}}\omega ^{2}\right)+{\frac {11\omega +21\omega ^{2}}{64}},$

le produit serait