Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/286

278

ANALISE

Si l’on veut que $x$ soit plus petit que $5,$ racine du dénominateur, il faudra prendre $y=17$ et l’on aura ainsi

${\frac {89}{125}}={\frac {4}{125}}+{\frac {17}{25}}.$

Par une semblable méthode, on décomposerait ultérieurement ${\frac {17}{25}}$ en deux autres fractions dont les numérateurs seraient l’un et l’autre moindres que $5.$ On trouverait ainsi

${\frac {89}{125}}={\frac {4}{125}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {3}{5}}.$

Ainsi, en général, toute fraction numérique ${\frac {b}{a^{m}}}$ peut être considérée comme la somme algébrique d’une suite d’autres

${\frac {b'}{a^{m}}}+{\frac {b''}{a^{m-1}}}+{\frac {b'''}{a^{m-2}}}+\ldots ,$

dans lesquelles les numérateurs $b',b'',b''',\ldots$ sont tous moindres que a.

Soit, en second lieu, la fraction ${\frac {379}{600}}$ à décomposer en deux autres dont les dénominateurs soient les deux facteurs premiers entre eux $24$ et $25$ de son dénominateur ? En désignant par $x,y$ les numérateurs respectifs de ces deux fractions, on aura

${\frac {379}{600}}={\frac {x}{24}}+{\frac {y}{25}}\,;$

d’où

$25x+24y=379,$

cela donne

$x=19-24n,\qquad y=25n-4.$

Si l’on veut que les numérateurs soient plus petits que les dénominateurs, on pourra prendre $n=0\,;$ cela donnera

${\frac {379}{600}}={\frac {19}{24}}-{\frac {4}{25}}.$

On pourrait, par le même procédé, décomposer ultérieurement ${\frac {19}{24}}$ en deux fractions ayant $3$ et $8$ pour dénominateurs ; et des numérateurs plus petits que ces nombres. On trouverait ainsi