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DES ÉQUATIONS
Solution. Soit
la tangente donnée et
l’arc cherché auquel
elle appartient ; nous aurons l’équation
![{\displaystyle x=\operatorname {Tang} .y,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552263a4928c074af46455b09e380865bea13e8b)
ou
![{\displaystyle \qquad x\operatorname {Cos} .y=\operatorname {Sin} .y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93058af7430cb3101a1387ddc29af296f9cecdeb)
ou en différentiant,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .y-x{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {Sin} .y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {Cos} .y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c0a1f53178c7312fc7c651f16f6efd3a205531)
En éliminant
entre ces deux équations,
disparaîtra aussi, et nous aurons l’équation
![{\displaystyle \left(1+x^{2}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b8f5826fe86f945e89a5abfd72f03da3317e23)
Dans laquelle la constante doit se déterminer par cette considération que
et
doivent être nuls en même temps.
Changeant, dans cette équation,
en
elle deviendra
![{\displaystyle \left\{(1+a^{2})+2azx+z^{2}x^{2}\right\}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}-z=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc7e6250f801c0ef2d02d00f46024a75152268d)
(1)
où la constante se déterminera par la considération qu’à
ou
doit répondre
et l’arc cherché, dont la tangente est
sera ce que devient
lorsqu’on suppose ![{\displaystyle x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9)
Posons d’abord simplement,
![{\displaystyle y=A+Bx,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7ca02d25a5644b3586dc506d38b7f8e29e654b)
(5)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f50e382225a542ba35bc55ad401f81538d0b837)
(6)
mettant cette valeur dans (1), elle deviendra