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INTÉGRATION

$B\left\{\left(1+a^{2}\right)+2azx+z^{2}x^{2}\right\}-z=0,$

ou, en ordonnant,

$\left\{(1+a^{2})B-z\right\}+2azBx+z^{2}Bx^{2}=0,\qquad$(7)

En supposant $x=0,$ celle équation donnera

$(1+a^{2})B-z=0\,;$

la condition relative à la constante donnera d’ailleurs

$0=A-{\frac {a}{z}}B\,;$

éliminant $B$ entre les deux, on aura

$A={\frac {a}{1+a^{2}}}={\frac {a}{1+a^{2}}}.{\frac {\left(a+{\sqrt {-1}}\right)-\left(a-{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\,;$

changeant donc $a$ en $x,$ nous aurons, pour première approximation,

$\operatorname {Arc} (\operatorname {Tang} .=x)={\frac {x}{1+x^{2}}}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}.$

Posons, en second lieu,

$y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3},$

d’où

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}\,;\qquad$(6′)

substituant dans l’équation (1), elle deviendra

$\left\{\left(1+a^{2}\right)+2azx+z^{2}x^{2}\right\}\left(B+2Cx+3Dx^{2}\right)-z=0,$

ou en développant ; ordonnant et posant, pour abréger,