Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/298

290

INSCRIPTION DE TROIS CERCLES

Cette considération m’ayant déterminé à revenir de nouveau et tout récemment sur ce singulier problème ; j’ai été assez heureux pour en obtenir une solution que sa simplicité et son élégance vous feront peut-être juger de nature à ne point déparer votre recueil ; et qu’en conséquence je vais exposer brièvement.

Soient $\mathrm {A,B,C}$ les trois sommets d’un triangle quelconque ; soit $\mathrm {O}$ le centre du cercle inscrit, dont nous prenons le rayon pour unité. De ce centre, soient abaissées respectivement, sur les côtés $\mathrm {BC,CA,AB,}$ les perpendiculaires $\mathrm {OA'=OB'=OC'=1} \,;$ et soient de plus menées du même point aux sommets les droites $\mathrm {OA,OB,OC.}$

Soient faits

${\begin{aligned}&Ang.{\rm {AOB'=Ang.{\rm {AOC'=\alpha ,}}}}\\&Ang.{\rm {BOC'=Ang.{\rm {BOA'=\beta ,}}}}\\&Ang.{\rm {COA'=Ang.{\rm {COB'=\gamma ,}}}}\end{aligned}}$

nous aurons

${\begin{alignedat}{2}{\rm {AB'=AC'}}=&\operatorname {Tang} .\alpha ,\qquad &\mathrm {OA} =&\operatorname {Sec} .\alpha ,\\{\rm {BC'=BA'}}=&\operatorname {Tang} .\beta ,&{\rm {OB}}=&\operatorname {Sec} .\beta ,\\{\rm {CA'=CB'}}=&\operatorname {Tang} .\gamma ,&{\rm {OC}}=&\operatorname {Sec} .\gamma ,\end{alignedat}}$

Nous aurons de plus, parce que $2\alpha +2\beta +2\gamma$ vaut quatre angles droits,

$\operatorname {Tang} .\gamma =-\operatorname {Tang} .(\alpha +\beta )=-{\frac {\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\beta }{1-\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta }}\,;$

ou bien, en chassant le dénominateur et transposant