Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/301

293

À UN TRIANGLE QUELCONQUE.

${\frac {a{\sqrt {x}}+{\sqrt {z}}}{\sqrt {1+a^{2}}}}={\frac {b{\sqrt {y}}+{\sqrt {z}}}{\sqrt {1+b^{2}}}}.$

Nous ne donnons pas de double signe au second membre de cette équation, parce qu’ici nous n’avons simplement en vue que les cercles intérieurs au triangle, se touchant extérieurement.

Par une simple permutation de lettres, on conclura de là

${\frac {b{\sqrt {y}}+{\sqrt {x}}}{\sqrt {1+b^{2}}}}={\frac {c{\sqrt {z}}+{\sqrt {x}}}{\sqrt {1+c^{2}}}},\quad {\frac {c{\sqrt {z}}+{\sqrt {y}}}{\sqrt {1+c^{2}}}}={\frac {a{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}{\sqrt {1+a^{2}}}}\,;$

ajoutant ces deux dernières membre à membre, $z$ disparaîtra, et il viendra

$\left\{{\frac {1}{\sqrt {1+b^{2}}}}-{\frac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {1+c^{2}}}}\right\}{\sqrt {x}}$

$=\left\{{\frac {1}{\sqrt {1+a^{2}}}}-{\frac {b}{\sqrt {1+b^{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {1+c^{2}}}}\right\}{\sqrt {y}}\,;$

mais, à cause de

$c={\frac {a+b}{ab-1}},$

on a

${\frac {1}{\sqrt {1+c^{2}}}}={\frac {ab-1}{\sqrt {(1+a^{2})(1+b^{2})}}}\,;$

substituant donc, et chassant les dénominateurs, il viendra

$\left\{1-ab+{\sqrt {1+a^{2}}}-a{\sqrt {1+b^{2}}}\right\}{\sqrt {x}}=\left\{1-ab+{\sqrt {1+b^{2}}}-b{\sqrt {1+a^{2}}}\right\}{\sqrt {y}}.$

Les coefficiens des deux membres peuvent d’abord être écris ainsi

$\left(1-a+{\sqrt {1+a^{2}}}\right)+a\left(1-b-{\sqrt {1+b^{2}}}\right),$

$\left(1-b+{\sqrt {1+b^{2}}}\right)+b\left(1-a-{\sqrt {1+a^{2}}}\right)\,;$

en considérant ensuite que