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INSCRIPTION DE TROIS CERCLES

$cAB+C(A+B-C)=2c\left(1-c+{\sqrt {1+c^{2}}}\right)=2cC\,;$

substituant donc celle valeur dans l’équation (6), et supprimant le facteur $c,$ commun aux deux membres, elle deviendra simplement

$2Cz=AB.$

Par une simple permutation de lettres, on obtiendra les équations en $x,y\,;$ de sorte qu’on a finalement

$x={\frac {BC}{2A}},\qquad y={\frac {CA}{2B}},\qquad z={\frac {AB}{2C}}.$

Cela posé, soient prolongés $\mathrm {AO,BO,CO,}$ jusqu’à ce qu’ils rencontrent de nouveau la circonférence du cercle insciit en $\mathrm {A'',B'',C''} \,;$ puis des sommets $\mathrm {A,B,C,}$ pris respectivement pour centres, et avec les rayons $\mathrm {AB'=AC',\ BC'=BA',\ CA'=CB'} ,$ soient décrits des arcs coupant respectivement $\mathrm {AO,BO,CO}$ en $\mathrm {A''',B''',C'''} \,;$ nous aurons ainsi

${\begin{alignedat}{2}{\rm {A''A'''=}}&{\rm {AO+OA''-AB'=}}&{\rm {OA''-AB'+AO=}}&1-\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Sec} .\alpha =A\\{\rm {B''B'''=}}&{\rm {BO+OB''-BC'=}}&{\rm {OB''-BC'+BO=}}&1-\operatorname {Tang} .\beta +\operatorname {Sec} .\beta =B\\{\rm {C'C'''=}}&{\rm {CO+OC''-CA'=}}&{\rm {OC''-CA'+CO=}}&1-\operatorname {Tang} .\gamma +\operatorname {Sec} .\gamma =C\end{alignedat}}$

Les trois longueurs $A,B,C$ étant ainsi déterminées, on en pourra conclure, par une construction unique, les trois rayons cherchés $x,y,z.$ Pour cela, on construira un triangle $\mathrm {DEF,}$ dont les trois côtés $\mathrm {EF,FD,DE,}$ soient respectivement égaux à ces trois longueurs ; par les sommets $\mathrm {D,E,F,}$ on mènera des droites se terminant aux côtés opposés en $\mathrm {D',E',F',}$ et tellement dirigées qu’on ait