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À UN TRIANGLE QUELCONQUE.

supprimant le facteur $2,$ commun à tous les termes de l’équation résultante ; elle deviendra

$cz+{\sqrt {xz}}+{\sqrt {yz}}-{\sqrt {xy}}=c\,;$

mettant dans celle-ci pour ${\sqrt {x}}$ et ${\sqrt {y}}$ leurs valeurs (5), elle deviendra

$\left(c+{\frac {C}{A}}+{\frac {C}{B}}-{\frac {C^{2}}{AB}}\right)z=c,$

ou

$\left\{cAB+C(A+B-C)\right\}z=cAB.\qquad$(6)

Or, on a, d’après les valeurs de $A,B,C$

$cAB=c(1-a)(1-b)+c(1-b){\sqrt {1+a^{2}}}+c(1-a){\sqrt {1+b^{2}}}$

$+c{\sqrt {\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)}},$

ou bien, en remplaçant ${\sqrt {\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)}}$ par son égal $(ab-1){\sqrt {1+c^{2}}}$

$cAB=c(1-a)(1-b)+c(1-b){\sqrt {1+a^{2}}}+c(1-a){\sqrt {1+b^{2}}}$

$+c(ab-1){\sqrt {1+c^{2}}}.$

On a ensuite

$A+B-C=1-a-b+c+{\sqrt {1+a^{2}}}+{\sqrt {1+b^{2}}}-{\sqrt {1+c^{2}}}\,;$

d’où, en multipliant par $C=1-c+{\sqrt {1+c^{2}}},$ et remplaçant respectivement ${\sqrt {\left(1+a^{2}\right)\left(1+c^{2}\right)}}$ et ${\sqrt {\left(1+b^{2}\right)\left(1+c^{2}\right)}}$ par $(ac-1){\sqrt {1+b^{2}}}$ et $(bc-1){\sqrt {1+a^{2}}}$,

$C(A+B-C)=-(1-c)(a+b)-2c^{2}-c(1-b){\sqrt {1+a^{2}}}$

$-(a+b-2c){\sqrt {1+c^{2}}}-c(1-a){\sqrt {1+b^{2}}}$

donc, en ajoutant et réduisant,

$cAB+C(A+B-C)=c-a-b+abc-2c^{2}+(c-a-b+abc){\sqrt {1+c^{2}}}.$

En remplaçant $abc$ par son équivalent $a+b+c,$ cela deviendra