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À UN TRIANGLE QUELCONQUE.
supprimant le facteur
commun à tous les termes de l’équation résultante ; elle deviendra
![{\displaystyle cz+{\sqrt {xz}}+{\sqrt {yz}}-{\sqrt {xy}}=c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa06dfff8d487051f9a357554bf148c7966f6f35)
mettant dans celle-ci pour
et
leurs valeurs (5), elle deviendra
![{\displaystyle \left(c+{\frac {C}{A}}+{\frac {C}{B}}-{\frac {C^{2}}{AB}}\right)z=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51eb6f550955987a703e260e67358ac3b0411a82)
ou
![{\displaystyle \left\{cAB+C(A+B-C)\right\}z=cAB.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002a5cf22c5c356cba184750c2037639ce70999b)
(6)
Or, on a, d’après les valeurs de ![{\displaystyle A,B,C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce2acf22b93dfbd22373336bd9c22dbd98a49d6)
![{\displaystyle cAB=c(1-a)(1-b)+c(1-b){\sqrt {1+a^{2}}}+c(1-a){\sqrt {1+b^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4943ea86cd645787861ceb6826920a0720cb15ef)
![{\displaystyle +c{\sqrt {\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb235eb9570fbdb446d40dbf08d26659ff7ac21)
ou bien, en remplaçant
par son égal ![{\displaystyle (ab-1){\sqrt {1+c^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0599ce221c86885cbcd45392ca30eb983d7d4c)
![{\displaystyle cAB=c(1-a)(1-b)+c(1-b){\sqrt {1+a^{2}}}+c(1-a){\sqrt {1+b^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4943ea86cd645787861ceb6826920a0720cb15ef)
![{\displaystyle +c(ab-1){\sqrt {1+c^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9feaaf846fcc9b24a7504e229e433e228e372421)
On a ensuite
![{\displaystyle A+B-C=1-a-b+c+{\sqrt {1+a^{2}}}+{\sqrt {1+b^{2}}}-{\sqrt {1+c^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736c7b5096568f5527221c184e150127b96d8130)
d’où, en multipliant par
et
remplaçant respectivement
et
par
et
,
![{\displaystyle C(A+B-C)=-(1-c)(a+b)-2c^{2}-c(1-b){\sqrt {1+a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69d5501594b9662fb46701e08c9fbe356b44091)
![{\displaystyle -(a+b-2c){\sqrt {1+c^{2}}}-c(1-a){\sqrt {1+b^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d674fef77c8feb81f85b6be7f9ea4bba333cf09)
donc, en ajoutant et réduisant,
![{\displaystyle cAB+C(A+B-C)=c-a-b+abc-2c^{2}+(c-a-b+abc){\sqrt {1+c^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b45eed8d1521fee9d3a711a54ad0d6e9537ee75)
En remplaçant
par son équivalent
cela deviendra