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PROBLÈME

${\begin{array}{ll}y'=-p\operatorname {Sin} .T+q\operatorname {Cos} .T,&q=-r'\operatorname {Sin} .\alpha +q'\operatorname {Cos} .\alpha ,\\z'=+r\,;&p=+p'\,;\end{array}}$

${\begin{aligned}&p'=+(x-a\operatorname {Cos} .t)\operatorname {Cos} .t+(y-a\operatorname {Sin} .t)\operatorname {Sin} .t,\\&q'=-(x-a\operatorname {Cos} .t)\operatorname {Sin} .t+(y-a\operatorname {Sin} .t)\operatorname {Cos} .t,\\&r'=+z\,;\end{aligned}}$

substituant donc les valeurs de $p',q',r'$ dans celles de $p,q,r,$ et ensuite celles-ci dans celle de $x',y',z'$ on aura

${\begin{aligned}x'=&+x(\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .T-\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .T)\\&+y(\operatorname {Sin} .t\operatorname {Cos} .T+\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .t\operatorname {Sin} .T)\\&-z\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .T-a\operatorname {Cos} .T,\\y'=&-x(\operatorname {Cos} .t\operatorname {Sin} .T+\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Sin} .t\operatorname {Cos} .T)\\&-y(\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .T-\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .T)\\&-z\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .T+a\operatorname {Sin} .T,\\z'=&-x\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .t+y\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .t+z\operatorname {Cos} .\alpha \end{aligned}}$

Cela posé, soit

$\operatorname {f} '(x'y'z')=S'=0,$

l’équation de la surface $S',$ rapportée à ses propres axes, et que l’on suppose donnée dans l’énoncé du problème ; en y substituant pour $x',y',z'$ les valeurs que nous venons de trouver, en $x,y,z,$ l’équation résultante, de la forme