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PROBLÈME

$x'^{2}+y'^{2}+(z'-c)^{2}=r^{2}\,;$

en y mettant pour $x',y',z'$ leurs valeurs en $x,y,z,$ elle deviendra, toutes réductions faites,

$\left\{x-(a\operatorname {Cos} .t-c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .t)\right\}^{2}+\left\{y-(a\operatorname {Sin} .t+c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .t)\right\}^{2}$

$+(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}=r^{2}.$

La différentielle de cette équation, prise par rapport à $t$ est

$\left.{\begin{aligned}&(a\operatorname {Sin} .t+c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .t)\left\{x-(a\operatorname {Cos} .t-c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .t)\right\}\\+&(a\operatorname {Cos} .t-c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .t)\left\{y-(a\operatorname {Sin} .t+c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .t)\right\}\end{aligned}}\right\}=0.$

si, dans ces deux équations, on considère $(a\operatorname {Cos} .t-c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .t)$ et $(a\operatorname {Sin} .t+c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .t)$ comme deux inconnues, on en tirera

${\begin{aligned}+&(a\operatorname {Cos} .t-c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .t)={\frac {x{\sqrt {a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}}{{\sqrt {a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}\pm {\sqrt {r^{2}-(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}}}}},\\&(a\operatorname {Sin} .t+c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .t)={\frac {y{\sqrt {a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}}{{\sqrt {a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}\mp {\sqrt {r^{2}-(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}}}}}\,;\end{aligned}}$

prenant la somme des quarrés de ces deux équations, $t$ disparaîtra de lui-même, et, en réduisant, on obtiendra, pour l’équation de la surface cherchée,

${\begin{aligned}1&={\frac {x^{2}}{\left\{{\sqrt {a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}\pm {\sqrt {r^{2}-(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}}}\right\}}}\\&+{\frac {y^{2}}{\left\{{\sqrt {a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}\mp {\sqrt {r^{2}-(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}}}\right\}}}\,;\end{aligned}}$

ou, en chassant les dénominateurs et développant,